sábado, 12 de mayo de 2007

LAS FRACCIONES

DIDÁCTICA FENOMENOLÓGICA DE LAS ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS
HANS FREUDENTHAL
CAPÍTULO # 5: “FRACCIONES”

JOHN HENRY DURANGO URREGO
FRACCIONESEL TÍTULO
Los números racionales son fracciones en donde el numerador y el denominador tienen como único divisor común el uno (1); esto es son primos relativos.
Las fracciones son la fuente fenomenológica del número racional.
La importancia de las variadas expresiones fraccionarias de un número racional.
Las fracciones son expresiones que se emplean en todos los idiomas para introducir el número racional.
No se puede negar que la didáctica de fracciones es caracterizada unificación de las tendencias.
Deberá trabajarse las fracciones haciéndose un acercamiento a la realidad.
Es mi intención presentar las fracciones en una fenomenología completa y abundante

FRACCIONES EN EL LENGUAJE COTIDIANO

• La mitad del:
Largo, peso, edad,…
• El doble del, el triple del (veces):
Largo, peso, edad,…
• La mitad de, el tercio de, el cuarto de:
Torta, camino, recorrido, hora, millones,….

Número fraccionario empleado seguido de una unidad de medida.
La vez y las veces, que sólo aparece en la multiplicación en naturales, vuelve a aparecer en las fracciones.

La terminología más natural es: 3 veces, un tercio de, dos tercios de; aplicados sobre: un número, una cantidad de objetos, las partes de un objeto o el valor numérico de una magnitud.
Una vez un tercio significa en algunos textos: un tercio de...
Las maneras lingüísticas más naturales empleadas son para designar fracciones: de, a, veces.
Otras maneras: … de cada….,… de…,
Tres de cada cinco (referido por ejemplo a habitantes de una ciudad)
Cinco de cada cien (5%)
A 35 mil el galón
Una posibilidad en cien
Una escala de 1 en 1000
3 de 5 partes
O una terminología que tiene una mirada más profunda:
Cinco de cada Chino es hombre.
Parece que éste es el origen de los números ordinales.
Cuando se habla de 9/10 y 1/10, esta ultima fracción se tomada como el complemento de la primera.

LAS FRACCIONES COMO FRACTURADOR

PROVOCANDO FRACCIONES

Se dividen las magnitudes, con o sin un resto. Para dividir la sustancia, medida por magnitudes, pueden los métodos estar disponibles: el fracturar puede se Irreversible o reversible, o simplemente simbólico.
La igualdad de piezas (en que se divide un objeto) se juzga a primera vista o por la sensación, o por métodos más sofisticados.
Uno de ellos es por ejemplo: doblando en dos partes, doblando en piezas iguales.
En varias ocasiones el doblar en dos conduce a más fracciones.
Los objetos pesados son partidos en dos, pesando las partes en una y otra mano, o en una pesa de equilibrio, mientras en el proceso se corrige la carencia del equilibrio.

Las figuras planas, o en general los objetos Planos, y espaciales, así como cantidades grandes se distribuyen a veces con respeto al área o al volumen; mientras que se usan congruencias y simetrías.
Por ejemplo, la torta redonda en los sectores circulares congruentes, que se pueden hacer a primera vista o por simple sensación.
En todos estos ejemplos desatendí medir en forma apropiada. Tuve como objetivo primordial el dibujar en el papel y marcar la atención en métodos más primitivos. En la constitución mental de todas las clases de magnitudes.
He observado muchas veces que estudiantes de 7 a 8 años pueden estimar una mitad o un tercera parte del área irregular de una figura por medio del colorear; por esta capacidad se está dominando un componente importante del objeto mental: “área”.
Mientras que el conocimiento de la fórmula para el área de un rectángulo apenas se enseña a estudiantes de 10 a 12 años.
Se recalca la importancia de romper-armar y tener presente las transformaciones para el desarrollo de magnitudes como objetos mentales.

Unidad y partes

De la manera más concreta las fracciones se presentan si un conjunto ha sido o está siendo fracturado, cortado, rebanado, roto, coloreado en piezas iguales, o si es experimentado, imaginado o pensado. Es por esto que en la complejidad de fenómenos intentaremos dar una clasificación, ilustrada por ejemplos.

La unidad puede ser:

• Discreto o continuo
• Definido o indefinido
• Estructurado o que carece de estructura.

La atención se puede dirigir a una porción, un número de piezas, todas las piezas.
Las piezas pueden ser conectadas o ser desconectadas.
La manera de dividirse puede ser estructurada o no estructurada.
Una bolsa de mármoles (piedras) (conjunto discreto definido)

Una lotería (conjunto discreto definido).
Una tira continua, de longitud definida, con una estructura lineal, con unos o más segmentos coloreados. Por ejemplo: rojo-blanco-azul conectadas, o desconectadas aquí y allí algunos puntos rojos, blancos, azules divididos con o sin la estructura.
Los grupos sanguíneos, donde la atención se puede prestar a uno o más de ellos; el conjunto se puede tomar más lejos como no estructurado, o según lo estructurado según el sexo, raza, distribución geográfica, y así sucesivamente. (Conjunto indefinido)
Una cadena de granos (posiblemente) de longitud-discreta infinita, indefinida, estructurada en forma lineal y como secuencia de la longitud finita, dividida según los números o los colores oscuros, que se pueden establecer al paso de una manera estructurada o no estructurada.
Una tira (posiblemente) de longitud infinita indefinida continua, indefinida, estructurado lineal y como tira de la longitud finita con segmentos coloreados o puntos.
Una pared o un piso-continuo embaldosado, de extensión indefinida, estructurado en un patrón de ladrillos o de azulejos - divididos según el color, diseño, cuadros, material de pedazos desconectados, estructurado o inestructurado.
El aire, continuo, indefinido, sin estructura dividido en algunos de los gases: oxígeno, nitrógeno, y así sucesivamente, con piezas conectadas, y de distribución sin estructura.
Escritura e impresión en cierta lengua, discreta, indefinida, sin estructura, dividida según símbolos de la letra, distribución sin estructura.





unidades, PARTES, Y FRACCIÓN

Se relacionan las piezas y el conjunto-totalidad por medio de las fracciones. Las piezas y el todo se comparan numéricamente según las medidas que se adoptan para la magnitud que pueden variar fuertemente.

La cuestión de cuántas veces la parte cabe en un todo, es significativa solamente si uno ha convenido con la condición bajo la cual las piezas deben ser consideradas como equivalentes.
El criterio puede ser en número o en el valor de cierta magnitud.
El acercamiento a las fracciones desde el punto de vista de “parte-todo-totalidad” se restringe mucho también no sólo desde lo fenomenológico sino también matemáticamente.
La didáctica tradicional de la aritmética se restringe a este acercamiento, especialmente sobre todo en el dividir una torta circular.
Después de estas divisiones concretas de la torta con las fracciones apropiadas, solamente se introducen al principiante inmediatamente a dividir abstractamente cantidades y valores de magnitudes; con las sentencias arbitrarias: “1/2 de vez” que tiene la misma significación que “½ de”; y luego con algunas reglas aritméticas se llega al número racional.
Algunos innovadores han insertaron extrañamente la fracción como operador desde los operadores inversos de la multiplicación. Esto habría podido ser un progreso pero fue demasiado restringida la orientación. Los inversos multiplicativos.
Los estudiantes que tienen buena destreza para digerir algoritmos aprenden fracciones de todos modos, los estudiantes que son menos o en absoluto dotado de esta dote específico, aprenderán por ensayo y error o no lo aprenderán.
Después de uno o dos años del estudio de fracciones, algunos estudiantes dominan los algoritmos aunque no tienen ninguna idea de las fracciones y con qué usted puede hacer con ellas; otros incluso no saben los nombres de las fracciones particulares.
La pobreza fenomenológica del acercamiento a las fracciones me parece a mí en gran parte responsable de esta falta de didáctica. Critica a la didáctica tradicional de la aritmética.

LAS FRACCIONES COMO COMPARADORES
COMPARAR OBJETOS CONCRETOS

Comparaciones directas e indirectas
El comparar se realiza según ciertos criterios, en forma directa o indirectamente.

Directamente: los objetos que deben ser comparados se traen cerca o juntos, o están de una cierta u otra manera considerados, como cuantas veces cabe el objeto mas pequeño en el grande, y por tanto esta estrategia de la fracción como comparador es reducida a las fracciones como fracturadores de un objetos concretos.
Indirectamente: se realiza mediante un tercer objeto, por ejemplo un palillo que mide, se utiliza como mediador entre dos objetos que se compararán.
Los ejemplos antedichos admiten otra formulación:
• El número de mujeres en este sitio es mitad del número de hombres

• La altura del banco es mitad de la altura de la tabla

• La anchura de la calle es 2 ½ de veces que de la acera para peatones

• La renta de Juan es mitad de Pedro

• El peso específico del cobre es la mitad del oro

Se tiene en cuenta aquí los objetos con respecto al valor del número o de la magnitud, ahora comparamos números valorando la magnitud.
Parece demasiada sofisticación para hacer esta distinción, asunto que se desatiende en la didáctica tradicional.
En nuestro análisis fenomenológico no es superfluo. Uno debe precisar completamente: que el comparar con respecto a un valor del número o de la magnitud precede a comparar números o la magnitud que se valora.
Mientras se pretenda que las fracciones sean más que un formalismo.

FRACCIÓN Y MAGNITUD

Explicamos anterior como el distribuir en piezas iguales puede ocurrir: con cantidades pequeñas a primera vista, comparadas con las más grandes o alternativamente quitando piezas iguales, o empleando el algoritmo de la división, como lo contrario de la multiplicación.
Si la división termina, ningún nuevo problema da vuelta para arriba. Si no, entonces en términos de problemas realistas la pregunta se presenta qué hacer con el resto.
El constituir o definir una magnitud en un sistema de cantidades requiere:

Una relación de equivalencia (no necesariamente función, ¿por qué?), que describe las condiciones para sustituir objetos (para las cantidades del caso de cierta sustancia) números y que conduce a la igualdad de objetos
Dentro de la magnitud, una manera de tomar juntos los objetos (cantidades), que conduce a una adición en la magnitud, la disponibilidad sin restricción de los objetos con el mismo valor de la magnitud (es decir, en la misma clase de equivalencia), que hace la adición posible, la posibilidad de dividir un objeto en un número arbitrario de los objetos parciales que se substituyen, que conduce a la división por números naturales.
Si nos restringimos a las matemáticas solamente, entonces para definir qué es magnitud, no podríamos ser satisfechos con los postulados de la adición y la división.
En un acercamiento fenomenológico debemos contratar con los objetos que por una relación de equivalencia se requieren para formar las clases que representan valores de la magnitud.
La disponibilidad sin restricción de tales objetos en cada clase de equivalencia es de hecho imprescindible.
Expreso a este punto que por una fenomenología defectuosa se ha producido una didáctica defectuosa de fracciones.
Nuestra exposición demuestra una asimetría entre la multiplicación y la división. El operador “nth parte de” puede ser aplicado al objeto antes de accederse al valor de la magnitud.
Una “nth parte” puede ser una parte concreta de algo. Por otra parte, las “ n veces de” no se pueden observar por medio del objeto dado; uno tiene que llamar en otros, quizás los arbitrarios, mientras que la “nth parte” se puede observar dentro del objeto y solamente la opción de la pieza es arbitraria.
La “fracción como fracturador” es no sólo también estrecha al comienzo, es también unilateral. Es extraño que todas las tentativas en la innovación hayan desatendido este punto.
El análisis fenomenológico moderno ha acercado cuidadosamente al concepto de la magnitud; la parte hecha por la equivalencia y las fracciones se ha reconocido, pero este análisis fenomenológico nunca se ha teniendo en cuenta en la didáctica.
Particularmente, no se ha observado que la didáctica de las magnitudes no se pueda construir en el de las fracciones, que alternadamente requieren magnitudes desde un acercamiento desde la didáctica fenomenológica.
La “fracción como fracturador” se puede describir absolutamente por medio del concepto restricto de equivalencia; no se requiere más que dividir un objeto en piezas iguales en n partes.
Pero en la realidad didáctica una equivalencia de un alcance más amplio es necesaria, también como la disponibilidad sin restricción de objetos en cada clase de equivalencia. Esta necesidad no se ha reconocido hasta ahora en la didáctica de fracciones y en la opción de modelos didácticos.

ASPECTOS DE LA FRACCIÓN

La fracción aparece como un operador o como una relación.
La fracción como operador y como relación trabaja encendida y se relacionan con el uno y el otro
Se comparan objetos con respecto a ciertas características (número, longitud, sueldo, el peso,…), la “mitad” del palillo, el banco es mitad de la altura de la mesa, etcétera o las cantidades y las magnitudes.
Si los objetos que se compararán son parte y todo o se consideran como tal, la fracción aparece en el operador o la relación que fractura.
Si se separan, es hablar de la relación del cociente.
Si está sobre cantidades y magnitudes, la fracción ocurre en el operador del cociente, que transforma un número, la longitud, peso en otro.
De la relación del cociente según lo indicado entre los objetos uno puede pasar al operador del cociente, por medio de los actos en cantidades y magnitud, empleando una etapa intermedia, la fracción en el transformador tal como “dibujando una escala”, “estirando 2 veces”. Esta operación es realizada en el objeto, en el pensamiento no rompiéndose, sino dibujando y deformando.
Si dejamos el concreto alrededor de fracciones paso a paso llegamos a la fracción como medidor que precede una unidad (por ejemplo: 2 ½ en 2 ½ kilogramo, 2 ½ m, 2 ½ c c, 2 ½litro o sin una unidad, al igual que el caso con el ½, 2 ½,….
Como explicamos anteriormente, la didáctica tradicional de la fracción solamente en el operador y el fracturador, pasando directamente al final de la secuencia: a la fracción como número racional.

LA FRACCIÓN COMO OPERADOR

El fracturar demanda actuar en objetos concretos rompiéndolos en piezas equivalentes
El operador del cociente, pone magnitudes en un cociente, el operador formalmente definido de la fracción en el campo del número.
La mirada de las sofisticadas diferencias, además de didácticamente es el medio en el cual los actos de la fracción como operador se están pelando cada vez en forma pormenorizada a las concreciones y por etapas. (Stepwise)
Actúa inicialmente en los objetos citados en forma concreta, mientras que sus aspectos de la magnitud son los factores que comprueban la imparcialidad del procedimiento.
Después, las magnitudes de los objetos, mientras que los objetos concretos medidos para entonces se desatienden o se sobre pasan en silencio.
Hay una etapa intermedia notable, el transformador, que, como ella eran, preserva la sustancia mientras que cambia los valores de la magnitud proporcional.
Finalmente, el operador de la fracción actúa en el dominio puro del número, donde satisface la necesidad de lo contrario de multiplicadores.
La fracción como número que mide, como punto en la línea del número, y finalmente como número racional es el resultado de aplicar el operador de la fracción a la unidad.
En todos los aspectos de la fracción, el aspecto del operador es filtro. En una didáctica de fracciones debe ser apreciado por consiguiente, y en acercamientos modernos de hecho se hace.

Desafortunadamente, esto tiene alianza con las ideas falsas, expresadas en las formulaciones tales como la “fracción como operador”. Tal interpretación está lógicamente de curso, factible-número, y los vectores se pueden interpretar también como operador.
Por otra parte he demostrado las rocas didácticas en las cuales esta lógica debe derrumbarse. La interpretación de la fracción como operador es técnica, al igual que la terminología implicada.
Esto significa que se debe distinguir la fracción como operador y el operador.
Es un hecho que el aspecto del operador es más importante para las fracciones que para los números naturales.
En la constitución del objeto mental “número natural” el crecimiento junto del concepto de cardinalidad y ordinalidad es decisivo, y solamente después de que se han constituido el número natural se utilizan operadores tales como “tres más que”, “tres menos que”, “tres veces (tanto como, tanto como)”.
Las fracciones, sin embargo, demuestran el aspecto del operador desde el comienzo, y que justifica una didáctica.
Si un sistema finito de objetos se distribuye en tres porciones iguales, por ejemplo, entre tres personas, cada parte es una tercera parte, es decir, una tercera parte del conjunto-todo.
Al parecer no es explicable por que los estudiantes no pueden acceder a la ordinalidad tempranamente.

MODELOS DE LA RELACIÓN DEL COCIENTE

El modelo universal de la magnitud es “el número positivo” visualizado en la recta numérica, como longitud, aunque otros modelos pueden ser igualmente útiles didácticamente, particularmente si se refieren a las fracciones, como lo son: el área, el volumen, el peso, el tiempo, por mencionar algunos.
Las longitudes y las áreas tienen sus propias visualizaciones; también algunos volúmenes.
Las visualizaciones se recomiendan altamente.
Los pesos se pueden visualizar, en una balanza de equilibrio, con la deformación del resorte o en la viga romana.

El tiempo se visualiza en el eje del tiempo, desenrollando el dial del reloj mecánico.
Cada uno de estos modelos merece nuestra atención puesto que puede ser útil en la relación del cociente.
No mencioné aquí el modelo clásico para las fracciones, la distribución de la torta circular, para no mencionar los más recientes, como ¿las cajas de las fracciones?
En la práctica didáctica no pueden ser saltarse ciertamente la distribución de la torta, que es el precursor de las divisiones generales del sector del círculo que se aplican como diagramas estadísticos del sector circular.
Pues didácticamente los modelos de sectores circulares para las fracciones son especialmente eficaces si se toman juntos, ya que permite hacer aserciones en torno a las partes por fuera y para realizar comparaciones entre porciones previamente establecidas.
Se puede proponer una mezcla con p partes de un color y con las partes q de otro color, para conseguir cierta mezcla de los colores iniciales.
Esta es una ilustración eficaz de los cocientes que están presentes en una mezcla.
Asimismo, uno puede mezclar líquidos en un cociente dado e ilustrar la mezcla en un diagrama de sector circular.
Las maravillosas ilustraciones son ofrecidas por las cadenas de granos, formando ciertos patrones donde los granos, las piedras, y así sucesivamente se alternan regularmente de varios colores o las formas en cierto cociente de la fracción - tres blancos y dos negro - un conjunto definido- donde no se sugiere ningunos límites.
Si el tema es fracción, las partes particulares serán expresadas por las fracciones.
Asimismo, la caja de la fracción se puede hermoso utilizarla para exhibir histogramas, pero debo decir que yo nunca lo he utilizado de esta manera.
La distribución de la torta circular ocurre dentro de la torta en sí; el círculo que se dividirá es el universo-totalidad, él cual se divide en sectores.
El dial del reloj se puede manejar más suavemente: por la relación medir el tiempo a una hora o a la mitad del día, incluso el dial puede ser quitado.
La caja de la fracción es la herramienta más restricta; resiste no sólo el extender sino también el refinamiento. El rectángulo exhausto tiene más oportunidades, pero mientras el rectángulo se subdivida solamente, no está digno de mucho más que la caja rígida de la fracción.
Las longitudes y las áreas son los medios más naturales de visualizar magnitudes con respecto a la de enseñanza de fracciones.

Las longitudes se presentan por medio de objetos largos rectos, por medio de congruencia como relación de equivalencia, si se admiten los objetos largos arbitrarios; las congruencias tienen que ser amplificadas cerca romper-armar, transformaciones o flexiones.
Las áreas se presentan mediante los objetos planos, por medio de la relación de equivalencia: “igualdad del área”, que será ocupada en el capítulo 13; las congruencias y el romper-armar, las transformaciones contribuyen el grado de esta clase de equivalencia.
En el curso de la división de la torta circular en los sectores del círculo son comparados por la congruencia, que debe garantizar la igualdad del área o del volumen, según el caso concreto considerado
Los segmentos lineales son los representantes visuales más simples de los valores de la magnitud.
Dos valores de las magnitudes en una relación de fracción son visualizados fácilmente por dos segmentos lineales en el cociente
Dos árboles al lado uno de otro que están en la relación de la fracción, pueden ser indicados midiendo o usando escalas intermedias en cociente de la fracción
Las edades en el eje del tiempo; los pesos en la escala del equilibrio, del resorte son otros ejemplos.
La mayor parte de estas representaciones demuestran más de una extensión lineal, que significa que las otras extensiones pueden también ser discutidas. No están tan delgadamente como longitudes puras de hecho.
Longitudes más finas pueden ser estilizadas por los rectángulos pequeños, y facilitar la comparación, un puede dibujar rectángulos o cuadriculas en el fondo del papel ajustado, donde el comparar se reduce al conteo de éstos.
Pero otra vez, ésta no debe ser la única manera. Uno debe admitir las figuras que se solapan o que funcionan opuestamente a la estructura ajustada de papel.
Indico una vez más que en todos estos casos los pares de la líneas geométricas y los objetos pueden estar presentes en su propia lado de incorporar fracciones o puedan ser representantes de otras clases de pares de objetos: dos árboles, dos libros, dos cuerpos pesados, intervalos.

Entonces los acopladores absolutamente concretos pueden presentarse así: el peso y el precio en los equilibrios en tiendas, el peso en la pesa de equilibrio y la longitud en la viga o en la deformación del resorte que se balancea.






MODELOS DEL OPERADOR DEL COCIENTE

De la manera más natural, “3/5 de” es observado por dos figuras, una de las cuales es 3/5 de la otra en longitud o área.

Con todo este procedimiento representa “3/5” de forma insatisfactoria como operador.
Es como si uno ilustrara una función no por un gráfico sino por un punto del gráfico. Para una función lineal. Éste no satisface de ninguna manera nuestras expectativas.
Para demostrar la acción de “3/5” en su dominio entero, otros dispositivos son necesarios.
El dispositivo más popular de hoy día es sugerir una máquina en el actual caso que sería el “3/5” en la máquina. Es lo más simplemente posible una sugerencia verbal ilustrada por un cuadro convencional.
A La entrada de la máquina están los datos numéricos, que sin embargo se pueden también representar geométricamente.
La máquina es análoga a una “caja negra”.
Por lo que mi experiencia extiende, los autores de los libros de textos, profesores, y los estudiantes utilizan estas máquinas simplemente desde una relación verbal, sin la relación a cualesquier concretización de la operación de la fracción.
Mi impresión es que las máquinas deben su origen a las tentativas de introducir el concepto de función, más que de las funciones como objetos mentales.
Las concretizaciones falsas que aparecen son entonces inevitables, han adoptado, entonces aquí la forma de una seudo- concretización: sólo como “Una sugerencia verbal”.







MODELOS FUNCIONALES DEL OPERADOR RAZÓN

Proyección central de líneas paralelas (sombra de la lámpara)
Proyección paralela entre líneas ortogonales, por ejemplo, (sombra del sol)
Composición de dos proyecciones paralelas (tal como se utiliza en la representación gráfica de una función lineal)

La ejecución de las construcciones geométricas detalladamente puede ser ventajosa y desventajosa: si todos los detalles llegan a estar conscientes, se prolongan los procedimientos.
Una manera más atractiva es utilizar los planos, más bien que las líneas, es decir, los planos de proyección.
La construcción detallada es aún más difícil de realizarse, pero pueden ser dispensados fácilmente con la cuadricula si se distinguen, para demostrar claramente qué puntos corresponden a uno y otro en la original.
Qué significo en las figuras una ampliación o reducción del otro, donde la misma relación del cociente se puede indicar para cada diseño particular.
Igualmente se pueden hacer en tres dimensiones construyendo modelos en diversas escalas. Un peligro que se debe anticipar si uno utiliza las representaciones tridimensionales es la confusión posible de la longitud, del área, y de los cocientes del volumen.




TEORÍA MATEMÁTICA DEL NÚMERO RACIONAL DESDE EL PUNTO DE VISTA DEL OPERADOR COCIENTE

Es bien sabido cómo se introducen los números racionales, se comienzan con los números naturales (o números enteros): posteriormente se consideran los pares (“fracciones”) de números enteros y se prescribe una relación de equivalencia.






Los números racionales son entonces las clases de equivalencia de estos pares de números enteros. (Es claro que esta es una construcción aritmética de los números racionales).
Las operaciones aritméticas se definen apropiadamente para los pares de números enteros, y por consiguiente para las clases de equivalencia. (Bases de un curso introductorio de teoría aritmética).
Ahora bosquejo cómo se hace si eligen el operador de la multiplicación para comenzar con una manera axiomática que se puede seguir.
Las fracciones entonces no son el resultado de una definición; en lugar se descubren y se describen.
Consideramos una magnitud S y la multiplicación en S por los números naturales (distinto de cero), formando un sistema M, con la composición como operación en M. M entonces M es:


Tal semigrupo se puede en general extender a los grupos, que se probar fácilmente.
En el actual caso es incluso más fácil porque los elementos semigrupo se dan como multiplicaciones dentro de una magnitud S.
Exhibo la secuencia de los pasos:






Parece terriblemente complicado, aunque no refleja nada más que la ocurrencia de números racionales en operadores de la multiplicación, y los números racionales todavía no se liberan de su formulación del operador.
Si echamos una ojeada más cercana que se requiere en esta línea de pensamiento, conseguiremos la siguiente secuencia:

El objeto mental “es la función uno a uno” no obstante especializado: a estirar y a contraerse.
La actividad mental de componer y de invertir funciones, del reconocimiento de “k veces”.
La observación y la identificación, de la inversa de “k veces” como “k partes de” o “1/k de” (la tarea de la división)
Los únicos pasos del análisis matemático que no se calculan en esta secuencia didáctica imaginaria son ésos donde la conmutatividad se atribuye a ciertos pares de función.
En la mayoría de los casos esta característica es tan obvia que hacerla explícita causaría la confusión en estos momentos
El único caso donde se requiere hacer esto es en la conmutatividad de “m veces” y “n partes de”.
Quizás está sorprendiendo, esto es, en el análisis matemático lo inverso de los “m veces” inmediatamente no se llama el “1/m veces” sino el “1/m de”.
Lo inverso de los “m veces” se debe primero identificar con el familiar y la “pieza visualmente arraigada del “m partes de”,
El etiquetado de este por el “1/m de” requiere una motivación que esté preparada cuidadosamente.
El acercamiento precedente se puede comparar apenas con el de introducir números racionales como clases de equivalencia de los pares de números enteros.
El acercamiento del operador sigue una secuencia didáctica, mientras que las clases de equivalencia que se usan se consideran parte de la formalización y de una capacidad aritmética ya adquirida.
El comienzo matemático y didáctico de la secuencia con los funciones en una magnitud es vital.
Esta magnitud se debe especificar de alguna manera, y la especificación más obvia es la longitud, visualizada en la recta numérica, que podemos suponer que sea familiar a los estudiantes.
Allí las multiplicaciones por números naturales son fácilmente reconocidas, al igual que sus productos y lo inverso.

La comunicación requiere el verbalización, que inicialmente pudo estar en forma ostensiva, pero debe ser refinada gradualmente por medio de los dispositivos y registros lingüísticos relativos y funcionales.
Los números racionales ahora satisfacen una tarea doble: los números se alojaron en la recta numérica así como partes lingüísticas de operadores del cociente. Por supuesto, esto es a largo plazo inevitable, y en cierto momento esta consecuencia se debe aceptar y se hace consciente.
La intención que yo tenía con las fracciones es marchar en el amplio frente fenomenológico.
La abundancia fenomenológica se debe poner al buen uso.
Los pasos aislados en la secuencia matemática se deben tomar no en abstracto sino en un contexto abigarrado (heterogéneo).
Incluso entonces todavía no habría explicado la formalización de la aritmética de la fracción.
Ahora voy a bosquejar una secuencia didáctica rica para la aritmética de fracciones.

UNA SECUENCIA DIDÁCTICA RICA PARA LA ARITMÉTICA DE FRACCIONES
• Repartir ocho botellas de cerveza, a tres personas y que a cada una de ellas le toque igual parte.



























• El mismo problema se puede plantear con otros números:

24 botellas y 5 personas,
26 botellas y 5 personas.

• En un contexto visual los niños aprenden.


• La misma situación visualizada por las producciones de los modelos del árbol o del flujo.

DESARROLLO DECIMAL

La división de la fracción decimal es por este medios reducidos a el de números enteros, es decir, a qué se llama el desarrollo de b: a, o la fracción b/a en una fracción decimal, que puede estar de longitud infinita.
Las fracciones hasta ahora decimales han sido escritas como potencias de 10.













Para que esto para ser posible, la fracción en su forma simplificada deba poseer un denominador que sea un divisor de una potencia de 10, pues el denominador no posee otros factores primos con excepción de 2 y de 5.
No hay en este momento necesidad de poner el desarrollo infinito de fracciones en el marco de la serie infinita o, para esa materia, en el de fracciones decimales infinitas en general. Esto se puede reasumir más adelante. Hay igualmente poca necesidad de abrogar a la teoría del número para explicar la periodicidad de algunos decimales. Se hace de una manera más elemental.

OTRAS BASES
Con respecto al trabajo en sistemas posicionales con excepción del decimal, las discusiones de la sección 4.43. Puede ser repetido, aunque cierta diferencia vale la pena mencionar.
Uno puede no contar con generalmente que un cambio de la base cree más penetración, iguale con respecto a terminar y a no terminar progresos.
Si se ha entendido que los denominadores en la sistema decimal conducen a los progresos infinitos, porqué ellos son finalmente periódico, y que los casos son puramente periódicos, la transición a una nueva base g puede abrir nuevas perspectivas.

4 comentarios:

JOHN HENRY DURANGO dijo...

Que buen resumen

Daniela Garcia dijo...

son operaciones matemáticas que utilizamos continuamente para representar una parte de un entero, la razón entre dos cantidades, una medida o una probabilidad. No te pierdas el siguiente post de Aula365 para continuar aprendiendo de una forma ¡fácil y divertida!

Nelson Rodolfo Lemus Estrada dijo...

son operaciones matematicas para presentar una parte de un entero para continuar aprendiendo de forma facil y divertida

Sinthia Darleni Garcia Picon dijo...

Todo tiene sus al ti bajas pero ña matemática es la ciencia más exacta.
por otra parte se conservarón los principal es características de nuestros antepasados ya que esta ciencia la ocupamos la mayoría de tiempo X ejemplo cuando vamos de compras algún supermercados y entramos en la sesión de granos donde todos se vende por cuartos o medias...